Les propriétés suivantes sont admises
Propriété 1. Si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités du segment.
Propriété 2. Si un point est équidistant des extrémités du segment., alors il est sur la médiatrice de ce segment.
On peut fusionner ces deux propriété dans une seule phrase :
Théorème. Un point est sur la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est équidistant des extrémités du segment.
Sur la figure ci-contre le point M est équidistant de A et B, il appartient à la médiatrice en vert.
La propriété 1 sert à prouver que MA=MB (càd M est équidistant de A et de B) à condition que l'on sache que M est sur la médiatrice de [AB].
Réciproquement, si l'on sait que MA=MB, on pourra déduire de la propriété 2 que M est un point de la médiatrice de [AB].
Propriété 3. Si un point appartient aux médiatrices de deux côtés d'un triangle, alors il appartient aussi à la médiatrice du troisième côté.
On dit que les 3 médiatrices du triangle sont concourantes.
Remarque : C'est une propriété du même type que celle concernant les hauteurs d'un triangle et l'orthocentre. Pour démontrer celle concernant les hauteurs, j'ai utilisé la propriété 3. Je n'ai pas respecté l'ordre chronologique, cependant, mon raisonnement est logique. Attention, je ne pourrais pas utiliser la propriété sur les hauteurs pour prouver propriété 3.
Démonstration de la propriété 3.
On suppose que les deux médiatrices en vert se coupent en un point O.
Il faut expliquer pourquoi O est aussi un point de la troisième médiatrice.
Comme O est sur la médiatrice de [CD], on a OC=OD.
Comme O est sur la médiatrice de [DE], on a OD=OE.
Mais alors OC=OD=OE.
Fin de la démonstration.
Le point O d'intersection des trois médiatrices vérifie donc OC=OD=OE. On peut tracer un cercle de centre O passant par C,D et
E : C'est le cercle circonscrit du triangle CDE.
Autre article : Le centre du cercle circonscrit est sur la droite d'Euler.
Les autres billets prochainement sur ce blog ....
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