Orthocentre

Qu'est-ce que l'orthocentre d'un triangle ? (réponse en bas de l'article)
 
Définition. Si une droite passe par le sommet d'un triangle et est perpendiculaire au côté opposé (à ce sommet), alors c'est la hauteur issue de ce sommet.
 

Ci-dessus la droite violette est la hauteur issue de B dans le triangle ABC. [AC] est le côté opposé au sommet B. On dit aussi que [AC] est le côté relatif à cette hauteur. Cette hauteur et la droite (AC) ont comme intersection le point D appelé pied de la hauteur issue de B.
 
Comme un triangle a 3 sommets, il a trois hauteurs. Quand on trace les hauteurs à la main, il est souvent nécessaire de prolonger le côté opposé au sommet duquel est issue la hauteur pour pouvoir la tracer. Voir ci-dessous.
 

"Comme on le voit", le point E est à l'extérieur du triangle ABC, c'est le pied de la hauteur issue de C.
 
Les deux hauteurs tracées ont un point d'intersection.
 
En effet, sinon, cela voudrait dire que ces hauteurs sont parallèles, donc que les côtés auxquels elles sont relatives sont eux aussi parallèles. En effet, si deux droites sont parallèles, une droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre, et dans ce cas une deuxième droite perpendiculaire à l'une de ces parallèles seraient perpendiculaires aux deux ; donc les 2 perpendiculaires sont parallèles entre elles.
 
Ce point d'intersection est noté H sur la figure ci-dessous.

On peut encore tracer une hauteur, la hauteur issue de A. Voir ci-dessous. F est le pied issue de cette hauteur.

Cette troisième hauteur semble passer elle aussi par le point d'untersection des deux premières.
 
Conjecture : Les 3 hauteurs d'un triangle passent par un même point.
 
Démonstration. Pour démontrer la conjecture, au lieu de montrer que la 3è hauteur passe aussi par H, je vais montrer que la droite (AH) est la troisième hauteur du triangle. Pour cela, je dois prouver que (AH) est perpendiculaire à (BC). Ci-dessous, j'ai noté K le point d'intersection de (AH) et (BC).

 

Je commence par tracer une triangle plus grand A₂B₂C₂ comme ceci : je trace la parallèle à (AB) passant par C, la parallèle à (BC) passant par A, la parallèle à (CA) passant par B. Je nomme A₂ le point d'intersection de la parallèle à (AB) et de la parallèle à (CA). Je nomme B₂ le point d'intersection de la parallèle à (AB) et de la parallèle à (BC). Je nomme C₂ le point d'intersection de la parallèle à (BC) et de la parallèle à (CA).

 

Je vais travailler dans le nouveau triangle. Mon premier but est de montrer que les deux droites violettes sont les médiatrices de [A₂B₂] et [C₂A₂].  Ensuite, d'après la propriété suivante : Dans un triangles, les trois médiatrices passent par un même point (voir Médiatrices et cercle circonscrit ), je montrerai que (AH) est la médiatrice de [B₂C₂]. Pour cela il suffira de montrer que A est le milieu de [B₂C₂], et ainsi d'après la propriété, (AH) ne pourra être que cette troisième médiatrice. 

 

a) preuve que les deux droites violettes sont les médiatrices de [A₂B₂] et [C₂A₂] :

• Tout d'abord, puisque (BA₂)//(AC) et (AB)//(CA₂), le quadrilatère BA₂AC est un parallèlogramme. En particulier : AC=BA₂ et AB=CA₂.
• De la même façon (à vous de trouver), le quadrilatère C₂BCA est un parallèlogramme d'où C₂B=AC et AC₂=BC.
• Ainsi : C₂B=AC=BA₂. Comme de plus A₂, B et C₂ sont alignés, on en déduit que B est le milieu de [A₂C₂].
• De la même façon (à vous les détails), C est le milieu de B₂A₂.
• Comme (C₂A₂)//(AC) et que (HD) est perpendiculaire à (AC), il s'en suit que (HD) est perpendiculaire à (C₂A₂). Or (HD) passe par B et B est le milieu de [A₂C₂], donc (HD) est la médiatrice de [A₂C₂].
• De la même façon (....), (CH) est la médiatrice de [A₂B₂].

b) preuve que la droite orange (AH) est la médiatrice de [B₂C₂] :

• De la même manière que B est le milieu de [A₂C₂] et que C est le milieu de [B₂A₂]_, on montre (détails laissés à l'internaute) que A est le milieu de [B₂C₂]. 
• Dans un triangles, les trois médiatrices passent par un même point. Dans A₂B₂C₂, la médiatrice du côté [B₂C₂] passe par A son milieu et par H (car il est sur les trois médiatrices). Donc (AH) est cette médiatrice.

Donc (AH) est perpencidulaire à [B₂C₂] et donc à (BC) (pourquoi ?). Ceci prouve que cette droite est bien la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
 

FIN de la démonstration.

 
 
Remarque. Pour démontrer que les trois hauteurs d'un triangles passent par un même point je me suis servi de la proriété  Dans un triangles, les trois médiatrices passent par un même point. Je démontrerai cette dernière dans un prochain article.

 
Voici donc la propriété établie aujourd'hui
 
Propriété. Dans un triangle, les trois hauteurs passent par un même point (appelé orthocentre du triangle).
 
On peut la reformuler ainsi sous la forme si....alors...
 
Propriété. Si une droite passe par le sommet d'un triangle et par le point d'intersection de deux hauteurs, alors cette droite est une hauteur du triangle.
 
Définition. Le point appartenant aux 3 hauteurs d'un triangle est appelé l'orthocentre du triangle.